Question

2．已知函数f（x）满足f（1）=2，f（x+1）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，则f（1）×f（2）×f（3）×…×f（2011）=3．

Answer 1

分析 由已知中f（x）满足f（1）=2，f（x+1）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，易判断函数f（x）是以4为周期的周期函数，进而根据一个周期内：f（1）•f（2）•f（3）•f（4）=1，得到答案．

解答 解：∵函数f（x）满足f（1）=2，f（x+1）=$\frac{1+f（x）}{1-f（x）}$，
∴f（2）=$\frac{1+f（1）}{1-f（1）}$=-3，
f（3）=$\frac{1+f（2）}{1-f（2）}$=-$\frac{1}{2}$，
f（4）=$\frac{1+f（3）}{1-f（3）}$=$\frac{1}{3}$，
f（5）=$\frac{1+f（4）}{1-f（4）}$=2，
…
故函数f（x）是以4为周期的周期函数，
在一个周期内：f（1）•f（2）•f（3）•f（4）=1，
又∵2011÷4=502…3，
∴f（1）•f（2）•f（3）…f（2011）=f（1）•f（2）•f（3）=3，
故答案为：3

点评 本题考查的知识点是函数的值，函数的周期性，其中根据已知分析出函数f（x）是以4为周期的周期函数，是解答的关键．