Question

某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨）之间的函数关系式可以近视地表示为,已知此生产线的年产量最大为210吨.
(Ⅰ) 求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(Ⅱ)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润?最大利润是多少?

Answer 1

(Ⅰ)年产量为吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为万元；(Ⅱ)当年产量为吨时，可以获得最大利润，最大利润是万元.

试题分析：(Ⅰ)先根据定义将平均成本的表达式求出来，然后利用基本不等式求平均成本的最小值，但需注意基本不等式适用时的三个基本条件；(Ⅱ)先将总利润的函数解析式求出来，然后利用函数的单调性与最值的相关方法求总利润的最大值.
试题解析：(Ⅰ)每吨产品的平均成本
当且仅当取等号即x=200<210 满足。
年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为32万元；   5分
(Ⅱ)设总利润为万元，
则
在上是增函数时，有最大值为
年产量为210吨时，可以获得最大利润1660万元.   10分