【题目】已知函数.
(1)若函数为偶函数,求实数
的值;
(2)若,求函数
的单调递减区间;
(3)当时,若对任意的
,不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
和
;(3)
.
【解析】
(1)根据偶函数的定义,结合题意,得到,进而可求出结果;
(2)先由题意得到,根据二次函数的性质,即可得出单调减区间;
(3)先由题意得到在
上恒成立,令
,根据二次函数单调性,得出函数的最小值,只需
即可求出结果.
(1)因为函数为偶函数,
所以,即
,即
,因此
;
(2)因为,所以
,
因为函数的对称轴为
,开口向上;
所以当时,函数
单调递减;当
时,函数
单调递增;
又函数的对称轴为
,开口向上;
所以当时,函数
单调递增;当
时,函数
单调递减;
因此,函数的单调递减区间为:
和
;
(3)由题意,不等式可化为
,
即在
上恒成立,
令,则只需
即可;
因为,所以
,
因此,
当时,函数
开口向上,对称轴为:
,
所以函数在
上单调递减;
当时,函数
开口向上,对称轴为
;
所以函数在
上单调递增;
因此,
由得
,解得
或
,
因为,所以
.
即实数的取值范围为
.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知平行于轴的动直线
交抛物线
于点
,点
为
的焦点.圆心不在
轴上的圆
与直线
,
,
轴都相切,设
的轨迹为曲线
.
⑴求曲线的方程;
⑵若直线与曲线
相切于点
,过
且垂直于
的直线为
,直线
,
分别与
轴相交于点
,
.当线段
的长度最小时,求
的值.
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【题目】已知椭圆过点
,且离心率
(1)求椭圆的标准方程
(2)是否存在过点的直线
交椭圆与不同的两点
,且满足
(其中
为坐标原点)。若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由。
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【题目】已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;
(2)若ARB,求实数m的取值范围.
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【题目】设数列的通项公式是
(
表示不超过实数
的最大整数).
(1)证明:、
、
、
、
都是数列
的项;
(2)是否是数列
的项,证明你的结论;
(3)证明:有无穷多个2的正整数幂是数列的项.
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【题目】已知椭圆的离心率
,且经过点
,
,
,
,
为椭圆的四个顶点(如图),直线
过右顶点
且垂直于
轴.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)为
上一点(
轴上方),直线
,
分别交椭圆于
,
两点,若
,求点
的坐标.
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