Question

3．设正项数列{a_n}的前n项和S_n，且满足2S_n=a_n²+a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_{n+2}}}}$+$\frac{{{a_{n+2}}}}{{{a_{n+1}}}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2n+$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，又数列{a_n}为正项数列，可得a_n-a_n-1=1．再利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）知：${b_n}=\frac{n+1}{n+2}+\frac{n+2}{n+1}=1-\frac{1}{n+2}+1+\frac{1}{n+1}=2+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）由题意可得$2{S_n}=a_n^2+{a_n}，2{S_{n-1}}=a_{n-1}^2+{a_{n-1}}$，两式相减得，$2{a_n}=a_n^2-a_{n-1}^2+{a_n}+{a_{n-1}}$，
∴$a_n^2-a_{n-1}^2-{a_n}-{a_{n-1}}=0$，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
又∵数列{a_n}为正项数列，∴a_n-a_n-1=1．因此数列{a_n}为等差数列．
又n=1时，$2{a_1}=a_1^2+{a_1}$，∴a₁=1，a_n=1+n-1=n．
（2）证明：由（1）知${b_n}=\frac{n+1}{n+2}+\frac{n+2}{n+1}$，又${b_n}=\frac{n+1}{n+2}+\frac{n+2}{n+1}=1-\frac{1}{n+2}+1+\frac{1}{n+1}=2+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（{2+2+…+2}）+[{（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）}]$
∴${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=2n+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}＜2n+\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．