Question

11．已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的单调性．

Answer 1

分析 （1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；
（2）由于x是[-$\frac{π}{2}$，0]范围内的角，得到2x+$\frac{π}{4}$的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的单调性．

解答 解：（1）f（x）=4cosωx•sin（ωx+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$sinωx•cosωx+2$\sqrt{2}$cos²ωx=$\sqrt{2}$（sin2ωx+cos2ωx）+$\sqrt{2}$=2sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$．
因为f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
从而有$\frac{2π}{2ω}$=π，故ω=1．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$．
若-$\frac{π}{2}$≤x≤0，则-$\frac{3π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{4}$，
当-$\frac{3π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤-$\frac{π}{2}$，即-$\frac{π}{2}$≤x≤$-\frac{3π}{8}$时，f（x） 在[-$\frac{π}{2}$，$-\frac{3π}{8}$]上单调递减；
当-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{4}$，即$-\frac{3π}{8}$≤x≤0时f（x） 在[$-\frac{3π}{8}$，0]上单调递增．

点评 本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型．