Question

5．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）．若双曲线上存在点P，使PF₁=2PF₂，则该双曲线的离心率的取值范围是（1，3]．

Answer 1

分析 可用三角形的两边和大于第三边，及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立，因为可以三点一线．也可用焦半径公式确定a与c的关系．

解答 解：设|PF₁|=x，|PF₂|=y，则有$\left\{\begin{array}{l}{x=2y}\\{x-y=2a}\end{array}\right.$，
解得x=4a，y=2a，
∵在△PF₁F₂中，x+y＞2c，即4a+2a＞2c，4a-2a＜2c，
∴1$＜\frac{c}{a}$＜3，
又因为当三点一线时，4a+2a=2c，
综合得离心率的范围是（1，3]，
故答案为（1，3]．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了关于离心率范围的确定．可以在平时的教学过程中总结常见的有关离心率的求法及范围的求法．