Question

16．已知椭圆C；$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b}$=1（0＜b＜4）的左右顶点分别为A、B，M为椭圆上的任意一点，A关于M的对称点为P，如图所示，
（1）若M的横坐标为$\frac{1}{2}$，且点P在椭圆的右准线上，求b的值；
（2）若以PM为直径的圆恰好经过坐标原点O，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由中点坐标公式，即可求得P的坐标，由P在椭圆的右准线上，代入$\frac{4}{{\sqrt{4-b}}}=3$，即可求得b的值；
（2）点M的坐标为（x₁，y₁），由P关于M的对称点为A，即可求得P坐标，由题意可知：x₀x₁+y₀y₁=0，则以$\frac{{{x_1}^2}}{4}+\frac{{{y_1}^2}}{b}=1$，即$b=\frac{{{y_1}^2}}{{1-\frac{x_1^2}{4}}}=\frac{4y_1^2}{4-x_1^2}$，因此$b=4\frac{{x_1^2+{x_1}}}{x_1^2-4}=4[1+\frac{{{x_1}+4}}{x_1^2-4}]=4[1+\frac{{{x_1}+4}}{{{{（{x_1}+4）}^2}-8（{x_1}+4）+12}}]=4[1+\frac{1}{{（{x_1}+4）+\frac{12}{{{x_1}+4}}-8}}]$，由基本不等式的性质及x₁的取值范围，即可求得b的取值范围．

解答 解：（1）∵M是AP的中点，${x_M}=\frac{1}{2}，{x_A}=-2$，
∴x_P=3…（2分）
∵P在椭圆的右准线上，
∴$\frac{4}{{\sqrt{4-b}}}=3$，
解得：$b=\frac{20}{9}$．…（5分）
（2）设点P的坐标为（x₀，y₀），点M的坐标为（x₁，y₁），
又因为P关于M的对称点为A，
所以$\frac{{{x_0}-2}}{2}={x_1}，\frac{y_0}{2}={y_1}$
即x₀=2x₁+2，y₀=2y₁…（7分）
∵PM为直径的圆恰好经过坐标原点O，
∴OM⊥OP，
∴$\overrightarrow{OM}*\overrightarrow{OP}=0$，即x₀x₁+y₀y₁=0，…（9分）
所以（2x₁+2）x₁+2y₁y₁=0，即${y_1}^2=-x_1^2-{x_1}$

又因为点M在椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b}=1（0＜b＜4）$上，
所以$\frac{{{x_1}^2}}{4}+\frac{{{y_1}^2}}{b}=1$，即$b=\frac{{{y_1}^2}}{{1-\frac{x_1^2}{4}}}=\frac{4y_1^2}{4-x_1^2}$，…（12分）
所以$b=4\frac{{x_1^2+{x_1}}}{x_1^2-4}=4[1+\frac{{{x_1}+4}}{x_1^2-4}]=4[1+\frac{{{x_1}+4}}{{{{（{x_1}+4）}^2}-8（{x_1}+4）+12}}]=4[1+\frac{1}{{（{x_1}+4）+\frac{12}{{{x_1}+4}}-8}}]$，
因为-2＜x₁＜2，
所以2＜x₁+4＜6，
所以$4\sqrt{3}≤{x_1}+4+\frac{12}{{{x_1}+4}}＜8$，…（14分）
所以$\frac{1}{{（{x_1}+4）+\frac{12}{{{x_1}+4}}-8}}≤\frac{1}{{4\sqrt{3}-8}}$，即$\frac{1}{{（{x_1}+4）+\frac{12}{{{x_1}+4}}-8}}∈（-∞，\frac{1}{{4\sqrt{3}-8}}]$
所以$b∈（-∞，4（1+\frac{1}{{4\sqrt{3}-8}}）]$，即$b∈（-∞，2-\sqrt{3}]$…（15分）
又因为0＜b＜4，
所以$b∈（0，2-\sqrt{3}]$…（16分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，抛物线的性质，考查向量数量积的坐标表示，考查基本不等式的综合运用，考查计算能力，属于难题．