Question

8．己知函数f（x）=（2a+2）lnx+2ax²+5
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＜-1，若对任意不相等的正数x₁，x₂，恒有$|{\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}}|≥8$，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得导数，讨论当a≥0时，当a≤-1时，当-1＜a＜0时，导数的符号，进而得到单调区间；
（2）不妨设x₁＜x₂，而a＜-1，由（1）知f（x）在（0，+∞）单调递减，由题意可得|f（x₁）-f（x₂）|≥8|x₁-x₂|?f（x₁）-f（x₂）≥8（x₂-x₁）?f（x₁）+8x₁≥f（x₂）+8x₂，令g（x）=f（x）+8x，求得导数，由g（x）在（0，+∞）单调递减，运用参数分离，求得右边函数的最小值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=\frac{2a+2}{x}+4ax=\frac{{2（2a{x^2}+a+1）}}{x}$，
当a≥0时，f'（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调递减；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$，
即x∈（0，$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$），f′（x）＞0；x∈（$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$）单调递增，在（$\sqrt{-\frac{a+1}{2a}}$，+∞）时单调递减；
（2）不妨设x₁＜x₂，而a＜-1，由（1）知f（x）在（0，+∞）单调递减，
从而对任意x₁，x₂∈（0，+∞），恒有$|{\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}}|≥8$
?|f（x₁）-f（x₂）|≥8|x₁-x₂|?f（x₁）-f（x₂）≥8（x₂-x₁）
?f（x₁）+8x₁≥f（x₂）+8x₂，
令g（x）=f（x）+8x，
则$g'（x）=\frac{2a+2}{x}+4ax+8$，
原不等式等价于g（x）在（0，+∞）单调递减，
即$\frac{a+1}{x}$+2ax+4≤0，
从而a≤$\frac{-4x-1}{2{x}^{2}+1}$=$\frac{（2x-1）^{2}-4{x}^{2}-2}{2{x}^{2}+1}$=$\frac{（2x-1）^{2}}{1+2{x}^{2}}$-2，
而右边函数的最小值为-2，
故a的取值范围为（-∞，-2]．
另解：$a≤{（\frac{-4x-1}{{2{x^2}+1}}）_{min}}$设$φ（x）=\frac{-4x-1}{{2{x^2}+1}}$，
则${φ^′}（x）=\frac{{-4（2{x^2}+1）-（-4x-1）•4x}}{{{{（2{x^2}+1）}^2}}}=\frac{{8{x^2}+4x-4}}{{{{（2{x^2}+1）}^2}}}=\frac{{8{x^2}+4x-4}}{{{{（2{x^2}+1）}^2}}}=\frac{4（2x-1）（x+1）}{{{{（2{x^2}+1）}^2}}}$，
当$x∈（0，\frac{1}{2}）时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数$，
$x∈（\frac{1}{2}，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数$．
∴$φ{（x）_{min}}=φ（\frac{1}{2}）=-2$，
∴a的取值范围为（-∞，-2]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，考查构造函数求得导数，判断单调性，考查运算能力，属于中档题．