Question

17．已知函数f（x）=log₂（1-x），g（x）=log₂（x+1），设F（x）=f（x）-g（x）
（1）判断函数F（x）的奇偶性；
（2）证明函数F（x）是减函数．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）=$lo{g}_{2}\frac{1-x}{x+1}$，可求出该函数的定义域为（-1，1），然后可以求出F（-x）=-F（x），这便得出该函数为奇函数；
（2）可通过减函数的定义证明，设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，然后作差，证明F（x₁）＞F（x₂）即可．

解答 解：（1）F（x）=$lo{g}_{2}（1-x）-lo{g}_{2}（x+1）=lo{g}_{2}\frac{1-x}{1+x}$；
解$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{x+1＞0}\end{array}\right.$得，-1＜x＜1；
∴F（x）的定义域为（-1，1）；
F（-x）=$lo{g}_{2}\frac{1+x}{1-x}=lo{g}_{2}（\frac{1-x}{1+x}）^{-1}$=-F（x）；
∴F（x）为奇函数；
（2）证明：设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，则：
F（x₁）-F（x₂）=$lo{g}_{2}\frac{1-{x}_{1}}{1+{x}_{1}}-lo{g}_{2}\frac{1-{x}_{2}}{1+{x}_{2}}$=$lo{g}_{2}\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1-{x}_{2}）（1+{x}_{1}）}$；
∵-1＜x₁＜x₂＜1；
∴1-x₁＞1-x₂＞0，1+x₂＞1+x₁＞0；
∴$\frac{1-{x}_{1}}{1-{x}_{2}}＞1，\frac{1+{x}_{2}}{1+{x}_{1}}＞1$；
∴$\frac{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{2}）}{（1-{x}_{2}）（1+{x}_{1}）}＞1$；
∴F（x₁）-F（x₂）＞0；
即F（x₁）＞F（x₂）；
∴F（x）在定义域上是减函数．

点评 考查对数的真数需大于0，函数定义域的概念，奇函数的定义及判断方法，对数的运算，以及根据减函数的定义证明函数为减函数的方法．