Question

12．函数y=x⁴+2ax³+4x²-1恰有3个极值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$）∪（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，+∞）
• B． [-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，0]
• C． （-∞，-3$\sqrt{2}$]∪[3$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [0，$\frac{4\sqrt{2}}{3}$]

Answer 1

分析 求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系进行求解即可．

解答 解：函数的导数f′（x）=4x³+6ax²+8x，
若y=x⁴+2ax³+4x²-1恰有3个极值，
则f′（x）=4x³+6ax²+8x=0有3个不同的根，
即2x（2x²+3ax+4）=0，有3个不同的根，
即2x²+3ax+4=0有2个不同的根，
则判别式△=9a²-4×2×4＞0，
即9a²＞32，
即a²＞$\frac{32}{9}$，
解得a＞$\sqrt{\frac{32}{9}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$或a＜-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
故实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$）∪（$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，+∞），
故选：A

点评 本题主要考查函数极值的应用，根据函数的导数和极值之间的关系是解决本题的关键．