Question

已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，
求证: a^b＞b^a.

Answer 1

证明略

证法一: ∵b＞a＞e,∴要证a^b＞b^a,只要证blna＞alnb,
设f(b)=blna－alnb(b＞e),则f′(b)=lna－.
∵b＞a＞e,∴lna＞1,且＜1,∴f′(b)＞0.
∴函数f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是增函数，
∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,
∴blna＞alnb,∴a^b＞b^a.
证法二： 要证a^b＞b^a,只要证blna＞alnb(e＜a＜b,即证,
设f(x)=(x＞e)，则f′(x)=＜0,
∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数，又∵e＜a＜b,
∴f(a)＞f(b),即,∴a^b＞b^a.