Question

设函数

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，是否存在整数m，使不等式恒成立？若存在，求整数m的值；若不存在，请说明理由；

（3）关于x的方程在[0,2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围。

 

Answer 1

（1）函数的递增区间是；减区间是；（2）存在整数，使不等式恒成立；（3）实数m的取值范围是．

【解析】

试题分析：（1）先求出函数的定义域，再求出其导函数，令导函数大于0得到函数的增区间，考虑自变量取值最后得到单调区间即可；

（2）根据（1）求出函数的最值，不等式恒成立意味着，，求出解集得到的整数解即可；

（3）在[0,2]上，由和条件相等得到，即，然后令求出其导函数，由得；由得；所以在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，得到和都大于等于0，小于0，列出不等式组，求出解集即可得出实数a的取值范围．

试题解析：（1）由得函数的定义域为，

。

由得由

函数的递增区间是；减区间是；

（2）由（Ⅰ）知，f（x）在上递减，在上递增；

又且

时，

不等式恒成立，

即

是整数，

存在整数，使不等式恒成立

（3）由得

令则

由

在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增

方程在[0,2]上恰有两个相异实根

函数在和上各有一个零点，

实数m的取值范围是

考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；函数与方程的综合运用．