Question

10．若函数y=k（x+1）的图象上存在点（x，y）满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+\sqrt{3}≥0}\\{\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}≤0}\\{y≥\sqrt{3}}\end{array}\right.$，则函数y=k（x+1）的图象与圆（x-4）²+（y-3）²=2有公共点的概率为$\frac{8\sqrt{3}}{23}$．

Answer 1

分析 由题意画出约束条件的区域，计算函数y=k（x+1）的图象与圆（x-4）²+（y-3）²=2有公共点可能，利用几何概型公式解答．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+\sqrt{3}≥0}\\{\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}≤0}\\{y≥\sqrt{3}}\end{array}\right.$，作出可行域如图，
直线y=k（x+1）过定点P（-1，0），
由图可知A（2，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$），
则k_PA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，k_PB=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}≤k≤\sqrt{3}$，
函数y=k（x+1）的图象与圆（x-4）²+（y-3）²=2有公共点，则$\frac{|4k-3+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}≤\sqrt{2}$，解得-1≤k≤$-\frac{7}{23}$，
所以函数y=k（x+1）的图象与圆（x-4）²+（y-3）²=2有公共点的概率为：$\frac{-\frac{7}{23}+1}{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{23}$．
故答案为：$\frac{8\sqrt{3}}{23}$．

点评 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题