Question

1．若函数f（x）=log₄（4^x+1）-kx（x∈R）是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）若关于x的方程f（x）+x-m=0在[0，1]有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据偶函数的定义f（-x）=f（x），即 log₄（1+4^x）+（k，求解值域即可得出m的范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log₄（4^x+1）-kx（x∈R）是偶函数．
∴f（-x）=f（x），即 log₄（1+4^x）+（k-1）x=log₄（4^x+1）-kx，
k-1=-k，
2k=1，
即k=$\frac{1}{2}$；
（2）f（x）=log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x（x∈R），
∵关于x的方程f（x）+x-m=0在[0，1]有解，
∴m=log₄（4^x+1）+$\frac{1}{2}$x，
令g（x）=log₄（4^x+1）+$\frac{1}{2}$x（x∈[0，1]），
根据单调性判断g（x）在[0，1]单调递增，
g（0）=$\frac{1}{2}$，g（1）=log₄5+$\frac{1}{2}$，
故实数m的取值范围为[$\frac{1}{2}$，log₄5+$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考察了偶函数的定义，方程的有解与函数值域问题，属于中档题．