Question

19．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²，则$\frac{AC}{AB}$=（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用三角形的外心，得到$|\overrightarrow{AO}|=|\overrightarrow{BO}|=|\overrightarrow{CO|}$，$\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AC}$两式平方相减化简，得到2$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{CB}={\overrightarrow{AB}}^{2}-{\overrightarrow{AC}}^{2}$，又$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²，得到AB，AC的关系

解答 解：因为O是三角形的外心，所以$|\overrightarrow{AO}|=|\overrightarrow{BO}|=|\overrightarrow{CO|}$，
$\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AC}$，两式平方相减得2$\overrightarrow{AO}•（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}）={\overrightarrow{AB}}^{2}-{\overrightarrow{AC}}^{2}$，即2$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{CB}={\overrightarrow{AB}}^{2}-{\overrightarrow{AC}}^{2}$，
又$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²，所以2${\overrightarrow{AB}}^{2}={\overrightarrow{AC}}^{2}$，所以$\frac{AC}{AB}=\sqrt{2}$；
故选：B．

点评 本题考查了三角形外心性质以及向量数量积等运算；考查学生的运算能力；属于中档题．