Question

8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n-na_n=10n（∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若等差数列{a_n}的公差d＜0，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比数列，求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得S₁=a₁=10，可得S_n=$\frac{n}{2}$（a₁+a_n），再由等差数列的求和公式，即可得证；
（Ⅱ）运用等比数列的性质，求得公差d=-1，进而得到a_n=11-n，求得前n项和为S_n，再对n讨论，n≤11，n≥12，即可得到前n项和T_n．

解答 （Ⅰ）证明：∵2S_n-na_n=10n（n∈N^*），
∴S_n=$\frac{n（{a}_{n}+10）}{2}$，
∴S₁=a₁=$\frac{{a}_{1}+10}{2}$，解得a₁=10，
∴S_n=$\frac{n}{2}$（a₁+a_n），
∴{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）解：∵a₁=10和2a₂+2与5a₃成等比数列．
∴（2a₂+2）²=a₁•5a₃，
∴4（10+d+1）²=50（10+2d），化为d²-3d-4=0，
解得d=4（舍去）或-1．
∴a_n=10-（n-1）=11-n．前n项和为S_n=$\frac{1}{2}$n（21-n）；
当n≤11时，a_n≥0，前n项和T_n=$\frac{1}{2}$n（10+11-n）=$\frac{1}{2}$n（21-n）；
当n＞11时，T_n=-（S_n-S₁₁）+S₁₁=2S₁₁-S_n
=2×55-$\frac{1}{2}$n（21-n）=$\frac{1}{2}$n²-$\frac{21}{2}$n+110．
则有T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}n（21-n），n≤11}\\{\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{21}{2}n+110，n≥12}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的判断及通项和求和公式的运用，同时考查等比数列的性质，以及数列{|a_n|}的前n项和T_n的求法，属于中档题和易错题．