Question

16．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+$\frac{π}{3}$），ω＞0．
（1）若f（x）在（0，$\frac{π}{3}$）上单调递增，求ω的最大值；
（2）若f（x+θ），θ∈（0，π）是周期为2π的偶函数，求ω及θ的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的解析式利用正弦函数的单调增区间，求得函数的增区间为[$\frac{2kπ-\frac{5π}{6}}{3ω}$，$\frac{2kπ+\frac{π}{6}}{3ω}$]，依题意知，（0，$\frac{π}{3}$）⊆[-$\frac{5π}{18ω}$，$\frac{π}{18ω}$]，可得$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{18ω}$，由此求得ω的最大值．
（2）根据函数f（x+θ）=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+3ωθ+$\frac{π}{3}$），此函数的周期T=$\frac{2π}{3ω}$=2π，求得ω 的值，再根据 f（x+θ）为偶函数，可得sin（θ+$\frac{π}{3}$）=±1，故θ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，再结合θ∈（0，π），求得θ 的值．

解答 解：（1）对于函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+$\frac{π}{3}$），ω＞0，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤3ωx+$\frac{π}{3}$≤2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈z，
求得$\frac{2kπ-\frac{5π}{6}}{3ω}$≤x≤$\frac{2kπ+\frac{π}{6}}{3ω}$，可得函数的增区间为[$\frac{2kπ-\frac{5π}{6}}{3ω}$，$\frac{2kπ+\frac{π}{6}}{3ω}$]，
依题意知，当k=0时，（0，$\frac{π}{3}$）⊆[-$\frac{5π}{18ω}$，$\frac{π}{18ω}$]，∴$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{18ω}$，∴ω≤$\frac{1}{6}$，
即ω的最大值为$\frac{1}{6}$．
（2）函数f（x+θ）=2$\sqrt{3}$sin[3ω（x+θ）+$\frac{π}{3}$]=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+3ωθ+$\frac{π}{3}$），故函数的周期T=$\frac{2π}{3ω}$=2π，
求得ω=$\frac{1}{3}$，∴f（x+θ）=2$\sqrt{3}$sin（x+θ+$\frac{π}{3}$），为偶函数，
∴当x=0时，sin（θ+$\frac{π}{3}$）=±1，∴θ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即θ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈z．
再结合θ∈（0，π），可得θ=$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性、周期性和奇偶性，根据三角函数的值求角，属于基础题．