Question

17．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=4cosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=3t+3}\\{y=4t+3}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）写出圆C的直角坐标方程以及直线l的普通方程；
（2）求直线l被圆C所截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标公式，把圆C的极坐标方程化为普通方程，
消去参数，把直线l的参数方程化为普通方程即可；
（1）求出圆C的圆心与半径以及圆心到直线l的距离d，
利用勾股定理求出l被圆C所截得的弦长．

解答 解：（1）∵圆C的方程为ρ²=4ρcosθ，…（1分）
∴化为普通方程是x²+y²=4x，…（2分）
即圆C的直角坐标方程为：（x-2）²+y²=4；…（3分）
对于直线l，将t=$\frac{x-3}{3}$…（4分）
代入第二个方程可得y=$\frac{4}{3}$x-1，
即直线l的普通方程为：4x-3y-3=0；…（5分）
（2）由（1）得圆C的圆心C（2，0），半径r=2，…（6分）
点C到直线l的距离d=$\frac{|4×2-3×0-3|}{\sqrt{{4}^{2}{+（-3）}^{2}}}$=$\frac{5}{5}$=1，…（8分）
∴直线l被圆C所截得的弦长为2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$…（9分）
=2$\sqrt{{2}^{2}{-1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．…（10分）

点评 本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了参数方程与极坐标的应用问题，是综合性题目．