Question

18．设P是曲线y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$上的点，若对曲线y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0）上的任意一点Q，恒有|PQ|≥1，则a的取值范围是（　　）

• A． [$\sqrt{2}$-1，+∞）
• B． [2$\sqrt{2}$-2，+∞）
• C． [$\frac{4}{5}$，+∞）
• D． （0，2$\sqrt{2}$-2]

Answer 1

分析 由题意，曲线y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0）上的任意一点Q，恒有|OQ|≥2，可得2x⁴+（2a-4）x²+a²≥0，换元，利用判别式，即可得出结论．

解答 解：由题意，曲线y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0）上的任意一点Q，恒有|OQ|≥2，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（x+\frac{a}{x}）^{2}}$≥2，
∴2x⁴+（2a-4）x²+a²≥0，
令t=x²，则2t²+（2a-4）t+a²≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴△=（2a-4）²-8a²≤0或1-a＜0，
∵a＞0，
∴a≥2$\sqrt{2}$-2，
故选：B．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．