Question

8．已知函数f（x）=-2x²+bx+c，当x=1时有最大值1．
（1）若方程|f（x）|=m有4个不同实根，求实数m的取值范围，并求这4个实根的和；
（2）当x∈[m，n]（0＜m＜n）时，f（x）取值范围为[$\frac{1}{n}$，$\frac{1}{m}$]，试求m，n的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\frac{b}{4}$=1，f（1）=-2+b+c=1，从而解出f（x）=-2x²+4x-1；在同一坐标系中分别作出函数y=|f（x）|与y=m的图象，利用数形结合求解．
（2）因为当x∈R时，f（x）最大值为1，所以$\frac{1}{m}$≤1，m≥1，从而可得$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=\frac{1}{m}}\\{f（n）=\frac{1}{n}}\end{array}\right.$，从而可得（x-1）（2x²-2x-1）=0，从而解得m=1，n=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．

解答 解：（1）由已知得$\frac{b}{4}$=1，f（1）=-2+b+c=1，
解得b=4，c=-1；
即f（x）=-2x²+4x-1；
在同一坐标系中分别作出函数y=|f（x）|与y=m的图象如下，
由图象知，当0＜m＜1时，
两函数y=|f（x）|与y=m的图象有4个不同交点，且分别是关于直线x=1对称的两对对称点，
所以方程|f（x）=m有4个不同实根，
这4个不同实根的和为4．
（2）因为当x∈R时，f（x）最大值为1，所以$\frac{1}{m}$≤1，m≥1，
所以当x∈[m，n]（0＜m＜n）时，f（x）单调递减，
于是有$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=\frac{1}{m}}\\{f（n）=\frac{1}{n}}\end{array}\right.$，
所以f（x）=$\frac{1}{x}$在[1，+∞）上有两个不等的实根m，n，
且n＞m≥1，
由f（x）=$\frac{1}{x}$得-2x²+4x-1=$\frac{1}{x}$，
2x³-4x²+x+1=0，
（x-1）（2x²-2x-1）=0，
解之得x₁=1，x₂=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，x₃=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，
所以m=1，n=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了函数的性质的化简与应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．