Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=61
（1）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ；
（2）求向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在向量$\overrightarrow{b}$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）利用已知求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的数量积，再利用数量积公式得到向量的夹角；
（2）根据向量投影的定义解答．

解答 解：（1）因为：|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，（2$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=61，
所以$4{\overrightarrow{a}}^{2}-3{\overrightarrow{b}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=61，即64-27-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=61，所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-6$，
所以cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-6}{4×3}=-\frac{1}{2}$，
所以$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ为120°；
（2）向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在向量$\overrightarrow{b}$方向上的投影$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}{|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-6+9}{3}$=1．

点评 本题考查了向量数量积公式的运用求向量的夹角以及求向量的投影；熟练掌握数量积公式是关键．