Question

10．已知函数f（x）=$\sqrt{3}{sinx}$+cosx+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）若a为第三象限角，且$f（α-\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$，求$\frac{cos2α}{1+cos2α-sin2α}$的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换化简可得函数解析式为f（x）=$2sin（x+\frac{π}{6}）+1$，由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期和值域；
（2）由$f（α-\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$根据（1）可得sinα，结合a为第三象限角，可求cosα的值，由二倍角公式化简所求即可得解．

解答 （本题满分12分）
解：（1）∵$f（x）=\sqrt{3}{sinx}+cosx+1$
=$2（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx）+1$…（1分）
=$2sin（x+\frac{π}{6}）+1$…（3分）
∴函数f（x）的周期为2π，值域为[-1，3]．…（5分）
（2）∵$f（α-\frac{π}{6}）=\frac{1}{3}$，∴$2sinα+1=\frac{1}{3}$，即$sinα=-\frac{1}{3}$…（7分）
∵$\frac{cos2α}{1+cos2α-sin2α}$=$\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{2co{s}^{2}α-2sinαcosα}$=$\frac{（cosα+sinα）（cosα-sinα）}{2cosα（cosα-sinα）}$…（9分）
=$\frac{cosα+sinα}{2cosα}$，…（10分）
又∵α为第三象限角，所以$cosα=-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$…（11分）
∴原式=$\frac{cosα+sinα}{2cosα}=\frac{{4+\sqrt{2}}}{8}$…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，同角三角函数的关系式的应用，属于基本知识的考查．