Question

【题目】已知．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数在上有最小值，且最小值为，满足，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(I) 函数在单调递减，在单调递增；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，分别令得增区间， 得减区间；（2）结合（1）可得的范围，得到函数的单调区间，求出函数在上有最小值，从而确定的范围即可.

试题解析：（Ⅰ）∵f'（x）＝ex－2a．

当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在R上单调递增；

当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln2a．

列表得

x	（－∞，ln2a）	ln2a	（1n2a，＋∞）
f'（x）	－	0	＋
f（x）

所以函数f（x）在（－∞，ln2a）单调递减，在（ln2a，＋∞）单调递增．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a＞0时，f（x）有最小值，且在x＝ln2a时取到最小值，

∴ln2a＞0，∴．

∵f（x）min＝f（ln2a）＝2a－2aln2a＋1，

∴g（a）＝2a－2aln2a＋1≤3－2ln2，即2a－2aln2a－2＋2ln2≤0．

令t＝2a，t＞1，∴t－tlnt－2＋2ln2≤0．

记φ（t）＝t－tlnt－2＋2ln2，φ'（t）＝－lnt＜0．

∴φ（t）在（1，＋∞）上单调递减，又∵φ（2）＝0，∴φ（t）≤0时t≥2，即a≥1．

所以a的取值范围是a≥1．

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.