精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数
(Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)设,当时,都有成立,求实数的取值范围.
(Ⅰ),(Ⅱ)当时,的单调增区间为;当时,的单调增区间是的单调减区间是. (Ⅲ).

试题分析:(Ⅰ)利用导数的几何意义,曲线在点处的切线斜率为在点处的导数值. 由已知得.所以(Ⅱ)利用导数求函数单调区间,需明确定义域,再导数值的符号确定单调区间. 当时,,所以的单调增区间为.当时,令,得,所以的单调增区间是;令,得,所以的单调减区间是.(Ⅲ)不等式恒成立问题,一般利用变量分离转化为最值问题. “当时,恒成立”
等价于“当时,恒成立.”设,只要“当时,成立.”
易得函数处取得最小值,所以实数的取值范围
(Ⅰ)由已知得
因为曲线在点处的切线与直线垂直,
所以.所以
所以.                                            3分
(Ⅱ)函数的定义域是.  
(1)当时,成立,所以的单调增区间为
(2)当时,
,得,所以的单调增区间是
,得,所以的单调减区间是.   
综上所述,当时,的单调增区间为
时,的单调增区间是
的单调减区间是.         8分
(Ⅲ)当时,成立,.    
“当时,恒成立”
等价于“当时,恒成立.”
,只要“当时,成立.”

得,,又因为,所以函数上为减函数;  
得,,又因为,所以函数上为增函数.
所以函数处取得最小值,且
所以.  又因为
所以实数的取值范围.                       13分
(Ⅲ)另解:
(1)当时,由(Ⅱ)可知, 上单调递增,所以
所以当时,有成立.
(2)当时, 可得
由(Ⅱ)可知当时,的单调增区间是
所以上单调递增,又,所以总有成立.
(3)当时,可得
由(Ⅱ)可知,函数上为减函数,在为增函数,
所以函数处取最小值,

时,要使成立,只需
解得.所以
综上所述,实数的取值范围
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数
(1)当时,试用含的式子表示,并讨论的单调区间;
(2)若有零点,,且对函数定义域内一切满足的实数
①求的表达式;
②当时,求函数的图像与函数的图像的交点坐标.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在边长为的正方形铁皮的四切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知函数y=f(x)的图象在M(1,f(1))处的切线方程是+2,
则f(1)+f′(1)=     

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数
(1)求函数的单调增区间;
(2)若,求函数在[1,e]上的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知正四棱锥S—ABCD中,SA=2,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为(  )
A.1B.C.2D.3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若函数的图像与轴交于点,过点的直线与函数的图像交于两点,则(     )
A.-32B.-16C.16D.32

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知函数).
(1)求的单调递增区间;
(2)在锐角三角形中,分别是角的对边,若的面积为,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________.

查看答案和解析>>

同步练习册答案