Question

如图，在四棱锥P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AB=AD=PD=1，CD=2，E为PC的中点．

（1）求证：BE∥平面PAD；

（2）求二面角E?BD?C的余弦值．

 

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）要想证明线面平行，由线面平行的判定定理可知：只需证明此直线与平面内的某一直线平行即可，考虑到E为PC的中点，所以取中点为,连接和AF;然后利用三角形的中位线的性质及空间中平行线的传递性可证BE//AF,再注意BE在平面PAD外,而AF在平面PAD内,从而可证BE∥平面PAD；（2）由已知可知直线DA、DC、DP两两互相垂直，所以我们可以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系．从而由已知就可写出点Ｐ、C、A、B的坐标.进而因为E是PC的中点，求出E的坐标，然后就可写出平面BDE内不共线的两个向量的坐标，如，再设出平面BDE的一个法向量为，利用可求出平面BDE的一个法向量；而平面BDC的一个法向量显然为：，从而利用两法向量的夹角公式：就可求得所求二面角的余弦值．

试题解析：（1）证明：令中点为，连接， 1分

点分别是的中点，

,.

四边形为平行四边形. 2分

,平面,

平面 4分

(三个条件少写一个不得该步骤分）

　　　　 5分

（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图）．

则.

因为E是PC的中点，所以E的坐标为 6分

设平面DBE的一个法向量为，而

则令则所以 9分

而平面DBC的一个法向量可为

故 12分

所以二面角E?BD?C的余弦值为。 13分

考点：１．线面平行；２．二面角．