Question

已知函数f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，其中a＞1．
（1）当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0成立，求实数m的取值范围；
（2）当x∈（-∞，2]时，f（x）-4＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：求出函数f（x）的奇偶性和单调性．
（1）由函数的性质把不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0转化为关于m的一元二次不等式组，求解不等式组得答案；
（2）由函数的单调性求出函数在x∈（-∞，2]上的最大值，然后求解关于a的不等式得答案．

解答： 解：令g（x）=a^x-a^-x，
∵g（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-g（x），
∴函数g（x）是奇函数，则f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)为奇函数，
设x₁＜x₂，可得
g（x₁）-g（x₂）=ax1-a-x1-（ax2-a-x2）=ax1-ax2+

ax1-ax2

ax1•ax2

=（ax1-ax2）（1+

1

ax1•ax2

），
∵1+

1

ax1•ax2

＞0，当a＞1时ax1-ax20，
∴当a＞1时g（x₁）-g（x₂）＜0，函数g（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
当0＜a＜1时g（x₁）-g（x₂）＞0，函数g（x）是（-∞，+∞）上的减函数．
∴当a＞1时函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数；
当0＜a＜1时函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
综上，函数数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
（1）x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m²）＜0成立，
则f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1）成立，
即

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，解得：1＜m＜

2

；
（2）当x∈（-∞，2]时，f（x）-4＜0恒成立，
即f（x）＜4恒成立，
∵函数数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
∴当x∈（-∞，2]时，f(x)max=f(2)=

a

a2-1

(a2-a-2)，
则

a

a2-1

(a2-a-2)＜4，即

(a2-1)(a2-4a+1)

a(a2-1)

＜0，
当a＞1时，得a（a²-4a+1）＜0，解得1＜a＜2+

3

；
当0＜a＜1时，得a（a²-4a+1）＜0，解得2-

3

＜a＜1．
∴实数a的取值范围是(2-

3

，1)∪(1，2+

3

)．

点评：本题考查了函数的性质，考查了数学转化思想方法，考查了不等式的解法，是中档题．