Question

14．同底的两个正三棱锥内接于同一个球，已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R，设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α，β，则tan（α+β）的值是-$\frac{4\sqrt{3}R}{3a}$．

Answer 1

分析 取AB的中点M，连接PM，QM，则PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB，故∠PMC是侧面PAB与底面所成二面角的平面角，∠QMC是侧面QAB与底面所成二面角的平面角，由此可得结论．

解答 解：如图，取AB的中点M，连接PM，QM，则PM⊥AB，CM⊥AB，QM⊥AB
∴∠PMC是侧面PAB与底面所成二面角的平面角，∠QMC是侧面QAB与底面所成二面角的平面角，
∴∠PMC=α，∠QMC=β，
设，OR=h，则MR=$\frac{1}{3}$CM=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，CR=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，R²-h²=CR²=$\frac{1}{3}$a²，
∵tanα=$\frac{R-h}{MR}$，tanβ=$\frac{R+h}{MR}$
∴tan（α+β）=$\frac{2R}{MR-\frac{{a}^{2}}{3MR}}$=-$\frac{4\sqrt{3}R}{3a}$，
故答案为：-$\frac{4\sqrt{3}R}{3a}$．

点评 本题考查面面角，考查两角和的正切公式，考查学生的计算能力，正确作出面面角是关键，属于中档题．