Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ， 椭圆C过点P（1， ），直线PF1交y轴于Q，且 =2 ，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1 ， k2 ， 且k1+k2=2，证明：直线AB过定点．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆C过点 ，∴ ①，

∵ =2 ，∴PF2⊥F1F2，则c=1，

∴a2﹣b2=1，②

由①②得a2=2，b2=1，

∴椭圆C的方程为

（2）解：当直线AB的斜率不存在时，设A（x0，y0），则B（x0，﹣y0），由k1+k2=2得 ，得x0=﹣1．

当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m（m≠1），A（x1，y1），B（x2，y2）， ，

得 ，

∴ ，

即 ，

由m≠1，（1﹣k）（m+1）=﹣kmk=m+1，

即y=kx+m=（m+1）x+mm（x+1）=y﹣x，

故直线AB过定点（﹣1，﹣1）

【解析】（1）由椭圆C过点 ，可得 ，由 =2 ，可得PF2⊥F1F2 ， 可得c=1，及其a2﹣b2=1，联立解出即可得出．（2）对直线AB的斜率分类讨论：当直线AB的斜率不存在时，利用k1+k2=2，及其斜率计算公式即可得出．当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m（m≠1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线方程与椭圆方程联立化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．