Question

【题目】已知函数f（x）=ex（x2+ax+a）． （I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤ea在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）当a=1时，f（x）=ex（x2+x+1），则f′（x）=ex（x2+3x+2）， 令f′（x）＞0得x＞﹣1或x＜﹣2；令f′（x）＜0得﹣2＜x＜﹣1
∴函数f（x）的单调增区间（﹣∞，﹣2）与（﹣1，+∞），单调递减区间是（﹣2，﹣1）
（Ⅱ）f（x）≤ea ， 即ex（x2+ax+a）≤ea ， 可变为x2+ax+a≤ea﹣x ，
令r（x）=x2+ax+a，t（x）=ea﹣x ，
当a＞0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为负，故r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上减，
欲使x2+ax+a≤ea﹣x有解，则只须r（a）≤t（a），即2a2+a≤1，解得﹣1≤a≤ ，故0＜a≤ ．
当a≤0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为正，故r（x）在[a，+∞）上先减后增，t（x）在[a，+∞）上减，
欲使x2+ax+a≤ea﹣x有解，只须r（﹣ ）≤t（﹣ ），即﹣ +a≤e ，当a≤0时，﹣ +a≤e 显然成立
综上知，a≤ 即为符合条件的实数a的取值范围．
【解析】（I）当a=1时，f（x）=ex（x2+x+1），求出其导数，利用导数即可解出单调区间；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤ea在[a，+∞）上有解，即x2+ax+a≤ea﹣x ， 在[a，+∞）上有解，构造两个函数r（x）=x2+ax+a，t（x）=ea﹣x ， 研究两个函数的在[a，+∞）上的单调性，即可转化出关于a的不等式，从而求得共范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．