【题目】已知动点M(x,y)满足,点M的轨迹为曲线E.
(1)求E的标准方程;
(2)过点F(1,0)作直线交曲线E于P,Q两点,交轴于R点,若,证明:为定值.
【答案】(1);(2)-4.
【解析】分析:(Ⅰ)由,根据椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点的椭圆,可求得,从而可得曲线的方程;(II)设,由,点在曲线上可得…,①同理可得…,②,由①②可得是方程的两个根,为定值.
详解:(Ⅰ)由,
可得点M(x,y)到定点A(﹣1,0),B(1,0)的距离等于之和等于.
且AB,所以动点N的轨迹是以C(﹣1,0),A(1,0)为焦点的椭圆,
且长轴长为,焦距2c=2,所以,c=1,b=1,曲线E的方程为:;
(Ⅱ)法1:设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(0,y0),
由,(x1,y1﹣y0)=λ1(1﹣x1,﹣y1),∴,
∵过点F(1,0)作直线l交曲线E于P,∴,
∴…①
同理可得:…②
由①②可得λ1、λ2是方程x2+4x+2﹣2y02=0的两个根,∴λ1+λ2为定值﹣4.
法2:依题意得的斜率一定存在,设斜率为k,
则直线方程为代入椭圆方程得:
设,则,
由得:得
同理得:
则为定值。
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【题目】已知点F(1,0),点A是直线l1:x=﹣1上的动点,过A作直线l2 , l1⊥l2 , 线段AF的垂直平分线与l2交于点P. (Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若点M,N是直线l1上两个不同的点,且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1,直线PF的斜率为k,求 的取值范围.
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【题目】设点M(x1 , f(x1))和点N(x2 , g(x2))分别是函数f(x)=ex﹣ x2和g(x)=x﹣1图象上的点,且x1≥0,x2>0,若直线MN∥x轴,则M,N两点间的距离的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的分别为a,b,c,且acosB=(3c﹣b)cosA.
(1)若asinB=2 ,求b;
(2)若a=2 ,且△ABC的面积为 ,求△ABC的周长.
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【题目】北京某附属中学为了改善学生的住宿条件,决定在学校附近修建学生宿舍,学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地,该土地可以建造每层1000平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元,已知建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为0.8万元.
(1)若学生宿舍建筑为层楼时,该楼房综合费用为万元,综合费用是建筑费用与购地费用之和),写出的表达式;
(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,学校应把楼层建成几层?此时平均综合费用为每平方米多少万元?
【答案】(1);(2)学校应把楼层建成层,此时平均综合费用为每平方米万元
【解析】
由已知求出第层楼房每平方米建筑费用为万元,得到第层楼房建筑费用,由楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高万元,然后利用等差数列前项和求建筑层楼时的综合费用;
设楼房每平方米的平均综合费用为,则,然后利用基本不等式求最值.
解:由建筑第5层楼房时,每平方米建筑费用为万元,
且楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高万元,
可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用为:万元.
建筑第1层楼房建筑费用为:万元.
楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高:万元.
建筑第x层楼时,该楼房综合费用为:.
;
设该楼房每平方米的平均综合费用为,
则:,
当且仅当,即时,上式等号成立.
学校应把楼层建成10层,此时平均综合费用为每平方米万元.
【点睛】
本题考查简单的数学建模思想方法,训练了等差数列前n项和的求法,训练了利用基本不等式求最值,是中档题.
【题型】解答题
【结束】
20
【题目】已知.
(1)求函数的最小正周期和对称轴方程;
(2)若,求的值域.
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【题目】已知.
(1)求函数的最小正周期和对称轴方程;
(2)若,求的值域.
【答案】(1)对称轴为,最小正周期;(2)
【解析】
(1)利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到,由周期公式和对称轴公式可得答案;(2)由x的范围得到,由正弦函数的性质即可得到值域.
(1)
令,则
的对称轴为,最小正周期;
(2)当时,,
因为在单调递增,在单调递减,
在取最大值,在取最小值,
所以,
所以.
【点睛】
本题考查正弦函数图像的性质,考查周期性,对称性,函数值域的求法,考查二倍角公式以及辅助角公式的应用,属于基础题.
【题型】解答题
【结束】
21
【题目】已知等比数列的前项和为,公比,,.
(1)求等比数列的通项公式;
(2)设,求的前项和.
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【题目】已知函数f(x)=ex(x2+ax+a). (I)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤ea在[a,+∞)上有解,求实数a的取值范围.
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【题目】某地随着经济的发展,居民收入逐年增大,下表是该地一农业银行连续五年的储蓄存款(年底余额),如下表:
为了研究方便,工作人员将上表的数据进行了处理,,得到下表:
(1)求关于的线性回归方程;
(2)求关于的线性回归方程;
(3)用所求回归方程预测,到2020年底,该地储蓄存款额大约可达多少?
(附:线性回归方程:,,)
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