Question

已知a＞0，b＞0，方程x²+（a+bi）x+1+ai=0有实根，求a的最小值，并求a取最小值时b的值，并解此方程．

Answer 1

考点：实系数多项式虚根成对定理

专题：数系的扩充和复数

分析：方程x²+（a+bi）x+1+ai=0有实根，可化为：x²+ax+1+（bx+a）i=0，利用复数相等可得：x²+ax+1=0，
bx+a=0．消去x可得：a2=

b2

b-1

=b-1+

1

b-1

+2，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：∵方程x²+（a+bi）x+1+ai=0有实根，
∴可化为：x²+ax+1+（bx+a）i=0，
∴x²+ax+1=0，bx+a=0．
消去x可得：a²-a²b+b²=0（b＞1，否则矛盾），
∴a2=

b2

b-1

=b-1+

1

b-1

+2≥2

(b-1)• 1 b-1

+2=4，当且仅当b=2时取等号．
∴当b=2时a取得最小值2．

点评：本题考查了复数相等、基本不等式的性质，考查了变形能力，属于中档题．