Question

已知函数f(x)＝x²－(1＋2a)x＋aln x(a为常数)．

(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；

(2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．

Answer 1

解　(1)当a＝－1时，f(x)＝x²＋x－ln x，则f′(x)＝2x＋1－，(2分)

所以f(1)＝2，且f′(1)＝2.

所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的方程为：y－2＝2(x－1)，

即：y＝2x.(6分)

(2)由题意得f′(x)＝2x－(1＋2a)＋＝ (x＞0)，

由f′(x)＝0，得x₁＝，x₂＝a，(8分)

①当0＜a＜时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜a或＜x＜1

由f′(x)＜0，又知x＞0，得a＜x＜，

所以函数f(x)的单调增区间是(0，a)和，单调减区间是，(10分)

②当a＝时，f′(x)＝≥0，且仅当x＝时，f′(x)＝0，

所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数．(11分)

③当＜a＜1时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜或a＜x＜1，

由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜a，

所以函数f(x)的单调增区间是和(a,1)，单调减区间是，(13分)

④当a≥1时，由f′(x)＞0，又知x＞0得0＜x＜，

由f′(x)＜0，又知x＞0，得＜x＜1，

所以函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是.(16分)