Question

【题目】已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知圆的切线（直线的斜率存在且不为零）与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）以为直径的圆过定点.

【解析】

(1)根据抛物线的焦点与椭圆的顶点公式求解即可.

(2) 设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,列出韦达定理,并根据直线与圆相切得出的关系式,代入证明即可.

（1）因为椭圆的离心率,所以,即.

因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点,

所以,所以.所以椭圆的方程为.

（2）因为直线的斜率存在且不为零.故设直线的方程为.

由消去,得,

所以设,则.

所以.

所以.①

因为直线和圆相切,所以圆心到直线的距离,

整理,得,②

将②代入①,得,显然以为直径的圆经过定点

综上可知,以为直径的圆过定点.