Question

若不等式组

x-y≥0 2x+y≤2 y≥0 3x+y≤a

表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（　　）

• A．0＜a≤

  8

  3

  或a≥3
• B．0＜a≤1或a≥

  4

  3

• C．0＜a≤1或a≥2
• D．0＜a≤1

Answer 1

分析：要确定不等式组

x-y≥0 2x+y≤2 y≥0 3x+y≤a

表示的平面区域是否一个三角形，可以先画出

x-y≥0 2x+y≤2 y≥0

，再对a值进行分类讨论，找出满足条件的实数a的取值范围．

解答：解：由题意可知：画可行域如图：
不等式组

x-y≥0 2x+y≤2 y≥0 3x+y≤a

表示的平面区域是一个三角形及其内部，
且当直线3x+y=a过直线x-y=0与直线y=0的交点O时，a=0．
表示的平面区域是一个三角形，
当直线3x+y=a过直线x-y=0与直线2x+y=2的交点A时，a=

8

3

．
表示的平面区域是一个三角形，
所以a的取值范围是：0＜a≤

8

3

，
当直线3x+y=a过直线y=0与直线2x+y=2的交点B（1，0）时，a=3
表示的平面区域是一个三角形，
综上a的范围是0＜a≤

8

3

或a≥3．
故选A．

点评：平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．