Question

自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x²+y²-4x-4y+7＝0相切，求光线L所在的直线方程.

Answer 1

4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0

【错解分析】设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，于是L′过A(-3，-3).　　设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，已知圆方程即(x-2)²+(y-2)²＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1　即　整理得12k²-25k+12＝0
解得k＝　　L′的方程为y+3＝(x+3)　即4x-3y+3＝0　因L和L′关于x轴对称故L的方程为4x+3y+3＝0.
【正解】设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，　于是L′过A(-3，-3).　　设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，　　已知圆方程即(x-2)²+(y-2)²＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1
因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1
即　整理得12k²-25k+12＝0　解得k＝或k＝
L′的方程为y+3＝(x+3);或y+3＝(x+3)。　即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0
因L和L′关于x轴对称故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.