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已知数列的首项其中,令集合.
(1)若是数列中首次为1的项,请写出所有这样数列的前三项;
(2)求证:对恒有成立;
(3)求证:.
(1)9,3,1或2,3,1;(2)详见解析;(3)详见解析.

试题分析:(1)从入手,反过来求.从条件可看出,首先分讨论,然后分讨论.
(2)首先由递推公式将表示出来,再与比较即可.
(3)注意.当或2、3时,可求出前三项,前三项就是1、2、3三个数,结论成立.
那么当时,结论是否成立?由递推公式的结构可以看出,当时,数列中的项最终必将小于或等于3.现在的问题是如何来证明这一点.注意(2)小题的结论,由可得,这说明,“若,则”,这样依次递减下去,数列中的项最终必将小于或等于3.一旦小于等于3,则必有1、2、3,从而问题得证.
试题解析:(1)由题设知,数列各项均大于0.
时,.若,则;若,则.
所以前三项分别为9,3,1或2,3,1.
时,,不合题意,舍去.
综上得,前三项分别为9,3,1或2,3,1.
(2)①当被3除余1时,由已知可得,
②当被3除余2时,由已知可得,.
仍为3的倍数,则;若不为3的倍数,则.
总之,都有
③当被3除余0时,由已知可得.
都是3的倍数,则.
是3的倍数,不是3的倍数,则.
不是3的倍数,是3的倍数,则.
以上三种情况,都有
综合①②③,有.
(3)注意.若,则.
,则.
,则.
以上三种情况都有(实际上).
下面证明,当时,数列中必存在某一项.
由(2)可得
所以,对于数列中的任意一项,“若,则”.由此可知,若仍然大于3,则,这样依次递减下去,最终必存在某一项.
所以如果,则数列中必存在某一项.
由前面的计算知,只要数列中存在小于等于3的项,则必有1、2、3三个数,
所以.
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