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如图,在长方体AC1中,AB=BC=2,点EF分别是面A1C1、面BC1的中心.

1)求证:BE//平面D1AC

2)求证:AFBE

3)求异面直线AFBD所成角的余弦值。

 

1)详见解析;(2)详见解析;(3

【解析】

试题分析:(1)连接交于点,连接,证为平行四边形得//,根据线面平行的判定定理即可证得//平面。(2)用空间向量法证两向量数量积为0。(3)用空间向量法求两向量所成角的余弦值,但应注意两空间向量所成角范围为,异面直线所成角范围为,所以其余弦值应为正数。

试题解析:

1(方法一)连接交于点,连接,由长方体知//

所以四边形为平行四边形,所以//,又平面

,故//平面4分)

(方法二)以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,

,

,.,,,

从而,故故//平面4分)

2)由(1)的方法二可知

, (6分)

. 7分)

所以 8分)

3)由(1)、(2)知,,设异面直线AFBD所成

的角为?,则

故异面直线所成角的余弦值为 12分)

考点:1线面平行;2空间向量法在立体几何中的应用。

 

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