Question

12．已知函数f（x）=cos²x-$\sqrt{3}$sinxcosx+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若f（θ）=$\frac{5}{6}$，θ∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），求sin2θ的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角余弦公式的变形、两角差的正弦公式化简解析式，由三角函数的周期公式函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的单调区间求出f（x）的递增区间；
（2）由（1）化简f（θ）=$\frac{5}{6}$，由θ的范围求出2θ-$\frac{π}{6}$的范围，由平方关系求出$cos（2θ+\frac{π}{6}）$ 的值，由两角差的正弦公式求出sin2θ的值．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=cos²x-$\sqrt{3}$sinxcosx+1
=$\frac{1}{2}$（1+cos2x）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+1=$-sin（2x-\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{5π}{6}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的单调递增区间是$[\frac{π}{3}+kπ，\frac{5π}{6}+kπ]（k∈Z）$；
（2）由（1）得，f（θ）=$-sin（2θ-\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$=$\frac{5}{6}$，
化简得，$sin（2θ-\frac{π}{6}）=\frac{2}{3}$＞0，
由$\frac{π}{3}$＜θ＜$\frac{2π}{3}$得，$\frac{π}{2}$＜2θ-$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴$cos（2θ+\frac{π}{6}）$=$-\sqrt{1-si{n}^{2}（2θ+\frac{π}{6}）}$=$-\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴sin2θ=sin[（2θ+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin$（2θ+\frac{π}{6}）$ cos$\frac{π}{6}$-cos $（2θ+\frac{π}{6}）$ sin$\frac{π}{6}$
=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}-（-\frac{\sqrt{5}}{3}）×\frac{1}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{6}$．

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，三角恒等变换中的公式在化简、求值中的应用，注意角的范围和三角函数值的符号，考查化简变形、计算能力．