Question

17．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC，BD交于点Q，∠BAC=∠CAD，AP为四边形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P．
（1）求证：PQ²=PD•PB；
（2）若AB=3，AP=2，AD=$\frac{4}{3}$，求AQ的长．

Answer 1

分析 （1）推导出AB=BC=DC，∠BAC=∠CBD，∠AQP=∠BAC+∠ABQ，∠PAQ=∠ABC=∠ABQ+∠CBD，从而∠PAQ=∠PQA，进而PA=PQ，由此利用切割线能证明PQ²=PA²=PD•PB．
（2）由∠ABP=∠PAD，∠APB=∠APD，得△ABP∽△APD，从而$\frac{AB}{AD}=\frac{AP}{PD}$，求出PD，由此能求出AQ=DQ=PQ-PD，从而能求出结果．

解答 证明：（1）四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC，BD交于点Q，∠BAC=∠CAD，
∴AB=BC=DC，∴∠BAC=∠CBD，
∴∠AQP=∠BAC+∠ABQ，
∵AP为四边形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P，
∴∠PAQ=∠ABC=∠ABQ+∠CBD，
∴∠PAQ=∠PQA，
∴PA=PQ，
∴PQ²=PA²=PD•PB．
解：（2）∵AB=3，AP=2，AD=$\frac{4}{3}$，AD∥BC，AB=CD，AC，BD交于点Q，∠BAC=∠CAD，
AP为四边形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P，
PQ²=PA²=PD•PB
∴PQ²=4=PD•PB，∠ABP=∠PAD，∠APB=∠APD，
∴△ABP∽△APD，∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AP}{PD}$，
∴PD=$\frac{AP•AD}{AB}$=$\frac{2×\frac{4}{3}}{3}$=$\frac{8}{9}$，
∴AQ=DQ=PQ-PD=2-$\frac{8}{9}$=$\frac{10}{9}$．

点评 本题考查圆中线段间等量关系的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理、弦切角定理的合理运用．