Question

5．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=6，ED=2．
（1）求证：CE⊥AD；
（2）求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由条件可得OC∥AD，利用平行线的性、圆的切线性质证得CE⊥AD．
（2）根据三角形相似的性质题意可得△ABC～△CDE，故有$\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{DE}$，结合BC=CD，求得BC的值．

解答 解：（1）由题意可得，O，C分别为AB，BD的中点，所以OC∥AD，
又CE为圆O的切线，CE⊥OC，所以CE⊥AD．
（2）依题意易知△ABC～△CDE，所以$\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{DE}$，又BC=CD，所以BC²=AB•DE=12，
从而$BC=2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查与圆有关的比例线段，平行线的性质、圆的切线性质以及三角形相似的性质，属于中档题．