Question

14．在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD与CDEF均为正方形，CF⊥平面ABCD，BG⊥平面ABCD，且AB=2BG=4BH．
（1）求证：平面AGH⊥平面EFG；
（2）求二面角D-FG-E的大小的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结FH，由题意推导出CD⊥CF，CD⊥GH，EF⊥GH，GH⊥FG，由此能证明面AGH⊥平面EFG．
（2）以DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-FG-E的大小的余弦值．

解答 证明：（1）连结FH，由题意知CD⊥CF，
∴CD⊥平面BCFG，
又∵GH?平面BCFG，∴CD⊥GH，
又∵EF∥CD，∴EF⊥GH，
设AB=a，则BH=$\frac{a}{4}$，BG=$\frac{a}{2}$，
∴GH²=BG²+BH²=$\frac{5{a}^{2}}{16}$，
FG²=（CF-BG）²+BC²=$\frac{5{a}^{2}}{4}$，FH²=CF²+CH²=$\frac{25}{16}{a}^{2}$，
则FH²=FG²+GH²，∴GH⊥FG，
又∵EF∩FG=F，GH⊥平面EFG，GH?平面AGH，
∴平面AGH⊥平面EFG．
（2）∵CF⊥平面ABCD，AD⊥DC，∴以DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系
设AB=4，则D（0，0，0），E（0，0，4），F（0，4，4），G（4，4，2），…（6分）
∴$\overrightarrow{DF}=（0，4，4）$，$\overrightarrow{EF}=（0，4，0）$，$\overrightarrow{FG}=（4，0，-2）$．…（7分）
设$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$为平面DFG的一个法向量，则
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DF}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{FG}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}4{y_1}+4{z_1}=0\\ 4{x_1}-2{z_1}=0\end{array}\right.$，取x₁=1，则$\overrightarrow{n_1}=（1，-2，2）$．…（9分）
又设$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$为平面DFG的一个法向量，则
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{EF}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{FG}=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}4{y_2}=0\\ 4{x_2}-2{z_2}=0\end{array}\right.$，取x₁=1，则$\overrightarrow{n_2}=（1，0，2）$，…（11分）
∴$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{5}{{3×\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
∴二面角D-FG-E的大小的余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．