Question

3．已知sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，且0＜x＜π，则cos2x=（　　）

• A． $\frac{24}{25}$
• B． $-\frac{24}{25}$
• C． $\frac{7}{25}$
• D． $-\frac{7}{25}$

Answer 1

分析 法一：利用特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式展开已知可求sinx+cosx=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，两边平方可得sin2x=-$\frac{7}{25}$，结合已知可求范围2x∈（π，$\frac{3π}{2}$），利用同角三角函数基本关系式即可求得cos2x的值；
法二：由已知可求cos（x+$\frac{π}{4}$），利用诱导公式，二倍角公式即可计算得解．

解答 解：法一：∵sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sinx+cosx）=$\frac{3}{5}$，可得：sinx+cosx=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴平方可得：1+sin2x=$\frac{18}{25}$，解得：sin2x=-$\frac{7}{25}$．
∵0＜x＜π，可得x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$＞0，
∴x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，π），可得：x∈（0，$\frac{3π}{4}$），
∴2x∈（0，$\frac{3π}{2}$），
∴结合sin2x=-$\frac{7}{25}$＜0，可得：2x∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∴cos2x=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2x}$=-$\sqrt{1-（-\frac{7}{25}）^{2}}$=-$\frac{24}{25}$．
法二：∵0＜x＜π，可得：x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），
∵sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
∴利用正弦函数的图象可知必有cos（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{5}$．
∴cos2x=2sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）=2×$\frac{3}{5}×（-\frac{4}{5}）$=-$\frac{24}{25}$．
故选：B．

点评 本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，由题意求得范围2x∈（π，$\frac{3π}{2}$）是解题的关键，属于中档题．