Question

12．二项式（ax+$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$）⁶的展开式中x⁵的系数为$\sqrt{3}$，则$\int_0^a$x²dx=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 利用二项式定理的展开式可得a，再利用微积分基本定理即可得出．

解答 解：二项式（ax+$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$）⁶的展开式中通项公式：T_r+1=${∁}_{6}^{r}$$（\frac{\sqrt{3}}{6}）^{6-r}$（ax）^r，令r=5，则T₆=${∁}_{6}^{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{6}$×a⁵x⁵．
∵x⁵的系数为$\sqrt{3}$，∴${∁}_{6}^{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{6}$a⁵=$\sqrt{3}$，解得a=1．
则$\int_0^a$x²dx=${∫}_{0}^{1}$x²dx=$\frac{1}{3}{x}^{3}{|}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了二项式定理、微积分基本定理，考查了推理能力与技能数列，属于中档题．