Question

4．已知△ABC的面积为1，在△ABC内任取一点P，则△PBC的面积小于$\frac{1}{3}$的概率为$\frac{5}{9}$．

Answer 1

分析 在三角形ABC内部取一点P，要满足得到的三角形PBC的面积是原三角形面积的$\frac{1}{3}$，根据几何关系求解出它们的比例即可．

解答 解：记事件A={△PBC的面积大于$\frac{1}{3}$}，
基本事件是三角形ABC的面积，（如图）
事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（D、E分别是三角形的边上的三等分点），
∵△ADE∽△ABC，且相似比为$\frac{2}{3}$，
∴阴影部分的面积是整个三角形面积的$\frac{4}{9}$，
∴P（A）=$\frac{4}{9}$，
∴△PBC的面积小于$\frac{1}{3}$的概率是1-P（A）=1-$\frac{4}{9}$=$\frac{5}{9}$．
故答案为：$\frac{5}{9}$．

点评 本题考查了几何概型，解答此题的关键在于明确测度比是面积比．对于几何概型常见的测度是长度之比，面积之比，体积之比，角度之比，要根据题意合理的判断和选择是哪一种测度进行求解．属于中档题．