Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+3x，x≥0}\\{{x}^{2}-3x，x＜0}\end{array}\right.$，若关于x的不等式[f（x）]²+af（x）＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值是（　　）

• A． 9
• B． 10
• C． 11
• D． 12

Answer 1

分析 函数f（x），如图所示，[f（x）]²+af（x）＜0，当a＞0时，-a＜f（x）＜0．由于关于x的不等式[f（x）]²+af（x）＜0恰有1个整数解，因此其整数解为4，f（3）=0．可得f（5）≤-a，-a＜f（4）＜0，解出即可得出．

解答 解：函数f（x），如图所示，
[f（x）]²+af（x）＜0，
当a＞0时，-a＜f（x）＜0，
由于关于x的不等式[f（x）]²+af（x）＜0恰有1个整数解，
因此其整数解为4，又f（5）=-5²+3×5=-10．
f（4）=-4²+3×4=-4，f（3）=-3²+3×3=0．
∴f（5）≤-a，-a＜f（4）＜0．
则10≥a＞4，
a≤0不必考虑，
可得：实数a的最大值是10．
故选：B．

点评 本题考查了函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．