Question

13．已知数列{a_n}满足：$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+…+$\frac{1}{a_n}$=$\frac{n^2}{2}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=（-1）ⁿ$\frac{{4-{a_n}}}{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把n=1代入已知的式子求出a₁，当n≥2时把n换成n-1列出式子，再作差化简后求出a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和条件化简得b_n，对n进行分类讨论后，利用并项求和法求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{a_n}=\frac{n^2}{2}（n∈{N^*}）$，①
∴当n=1时，$\frac{1}{a_1}=\frac{1}{2}$，解得a₁=2．
当n≥2时，$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{{{{（n-1）}^2}}}{2}（n∈N*）$，②
①-②得，$\frac{1}{a_n}=\frac{n^2}{2}-\frac{{{{（n-1）}^2}}}{2}=\frac{2n-1}{2}$，
解得${a_n}=\frac{2}{2n-1}$，当n=1时也成立，
∴${a_n}=\frac{2}{2n-1}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，${b_n}={（-1）^n}\frac{{4-{a_n}}}{a_n}={（-1）^n}（\frac{4}{a_n}-1）={（-1）^n}（4n-3）$，
当n为偶数时，T_n=-1+5-9+13-17+…+（4n-3）
=（-1+5）+（-9+13）+…+[-（4n-7）+4n-3]
=$4×\frac{n}{2}=2n$，
当n为奇数时，n+1为偶数，
T_n=T_n+1-b_n+1=2（n+1）-（4n+1）=-2n+1．
综上，${T_n}=\left\{\begin{array}{l}2n，n为偶数\\-2n+1，n为奇数.\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式，以及数列求和方法：并项求和法，考查分类讨论思想，属于中档题．