Question

4．已知函数f（x）=（-x²+x-1）e^x，其中e是自然对数的底数．
（1）求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线；
（2）若方程f（x）-（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m）=0有3个不同的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k=f′（1），再求出f（1），代入直线方程的点斜式求得曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线；
（2）令g（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m，分别利用导数求出f（x），g（x）在定义域内的极大值与极小值，把方程f（x）-（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m）=0有3个不同的实数根，转化为两函数极值间的关系求解．

解答 解：（1）∵f（x）=（-x²+x-1）e^x，
∴f′（x）=（-2x+1）e^x+（-x²+x-1）e^x =（-x²-x）e^x，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k=f′（1）=-2e，
又∵f（1）=-e，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+e=-2e（x-1），
即2ex+y-e=0；
（2）∵f′（x）=（-x²-x）e^x，
当x＜-1或x＞0时，f′（x）＜0；当-1＜x＜0时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，-1），（0，+∞）内单调递减，在（-1，0）内单调递增．
∴f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=$-\frac{3}{e}$，在x=0处取得极大值f（0）=-1．
令g（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m，得g′（x）=x²+x，
当x＜-1或x＞0时，g′（x）＞0；当-1＜x＜0时，g′（x）＜0．
∴g（x）在（-∞，-1），（0，+∞）内单调递增，在（-1，0）内单调递减．
∴g（x）在x=-1处取得极大值g（-1）=$\frac{1}{6}+m$，在x=0处取得极小值g（0）=m．
∵方程f（x）-（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m）=0有3个不同的实数根，即函数f（x）与g（x）有3个不同交点．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＜g（-1）}\\{f（0）＞g（0）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{e}＜\frac{1}{6}+m}\\{-1＞m}\end{array}\right.$，
∴$-\frac{3}{e}-\frac{1}{6}＜m＜-1$．
即实数m的取值范围是（$-\frac{3}{e}-\frac{1}{6}，-1$）．

点评 不同考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．