Question

11．已知抛物线 Γ：y²=8x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为K，点 P 在 Γ 上且$|{PK}|=\sqrt{2}|{PF}|$，则△PKF的面积为8．

Answer 1

分析 设P（x，y），K（-2，0），F（2，0），由$|{PK}|=\sqrt{2}|{PF}|$，及点P在抛物线上，利用两点间的距离公式可得关于x，y的方程，解方程可求P的坐标，进而可求△PFK的面积．

解答 解：由题意，设P（x，y），K（-2，0），F（2，0），
∵$|{PK}|=\sqrt{2}|{PF}|$，
∴$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，
整理可得，x²+y²-12x+4=0，
∵y²=8x，
∴x²-4x+4=0，
∴x=2，|y|=4，
∴S_△PFK=$\frac{1}{2}$|FK||y|=$\frac{1}{2}×4×4$=8．
故答案为：8

点评 本题主要考查了抛物线的性质的简单应用及基本的运算能力，属于中档题．