Question

19．如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．
（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；
（Ⅱ）求四棱锥S-ABCD的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 取AB的中点E，连结DE，SE，则四边形BCDE为矩形，推导出SD⊥SA，SD⊥SB，由此能证明SD⊥平面SAB．
（Ⅱ）设四棱锥S-ABCD的高为h，则h也是三棱锥S-ABD的高，由V_S-ABD=V_D-SAB，能求了四棱锥S-ABCD的高．

解答 证明：（Ⅰ） 如图，取AB的中点E，连结DE，SE，则四边形BCDE为矩形，
∴DE=CB=2，∴$AD=\sqrt{D{E^2}+A{E^2}}=\sqrt{5}$，
∵侧面SAB为等边三角形，AB=2，
∴SA=SB=AB=2，且$SE=\sqrt{3}$，
又∵SD=1，∴SA²+SD²=AD²，SB²+SD²=BD²，
∴SD⊥SA，SD⊥SB，
∵SA∩SB=S，∴SD⊥平面SAB．
解：（Ⅱ）设四棱锥S-ABCD的高为h，则h也是三棱锥S-ABD的高，
由（Ⅰ）知，SD⊥平面SAB，
由V_S-ABD=V_D-SAB，得$\frac{1}{3}{S_{△ABD}}•h=\frac{1}{3}{S_{△SAB}}•SD$，
∴$h=\frac{{{S_{△SAB}}•SD}}{{{S_{△ABD}}}}$，
又${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AB•DE=\frac{1}{2}×2×2=2$，${S_{△SAB}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}A{B^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\sqrt{3}$，SD=1，
∴$h=\frac{{{S_{△SAB}}•SD}}{{{S_{△ABD}}}}=\frac{{\sqrt{3}×1}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故四棱锥S-ABCD的高为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的高的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．