Question

8．在直角坐标系xoy中，直线l经过点P（-1，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ²-6ρcosθ+1=0．
（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；
（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线l经过点P（-1，0），且倾斜角为α，可得直线l的参数方程，利用互化公式可得C的直角坐标方程．由直线l与曲线C有公共点，可得△=64cos²α-32≥0，解出即可得出的取值范围；
（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，利用参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2\sqrt{2}sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），结合三角函数知识求x+y的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ²-6ρcosθ+1=0，∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-6x+1=0
∵直线l经过点P（-1，0），其倾斜角为α，∴直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数）
将$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$，代入x²+y²-6x+1=0整理得t²-8tcosα+8=0
∵直线l与曲线C有公共点，∴△=64cos²α-32≥0即$cosα≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$或$cosα≤-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∵α∈[0，π）∴α的取值范围是$[{0，\frac{π}{4}}]∪[{\frac{3π}{4}，π}）$…（5分）
（Ⅱ）曲线C的直角坐标方程为x²+y²-6x+1=0可化为（x-3）²+y²=8
其参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+2\sqrt{2}cosθ}\\{y=2\sqrt{2}sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数）  …（7分）
∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴$x+y=3+2\sqrt{2}cosθ+2\sqrt{2}sinθ=3+4sin（θ+\frac{π}{4}）$
∴x+y的取值范围是[-1，7]．…（10分）

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．